Question

4．已知正数a，b，c满足abc=1，$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件及平均值不等式，（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=3（a+b+c）+3≥12，而根据柯西不等式[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]$（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）$≥9，这样便可得出$12（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）≥9$，从而得出$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{3}{4}$，当a=b=c=1时取“=”．

解答 证明：a，b，c为正数，abc=1；
∴（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=3（a+b+c）+3≥9$\root{3}{abc}+3$=12，当且仅当a=b=c时取“=”；
根据柯西不等式：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}$）$≥（\sqrt{3a+1}•\frac{1}{\sqrt{3a+1}}+\sqrt{3b+1}•\frac{1}{\sqrt{3b+1}}+\sqrt{3c+1}•\frac{1}{\sqrt{3c+1}}）^{2}=9$，当且仅当3a+1=3b+1=3c+1，即a=b=c=1时取“=”；
∴$12（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）≥9$，当a=b=c=1时取“=”；
∴$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$；
即$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{3}{4}$．

点评 考查平均值不等式及柯西不等式的形式，而根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑，是解决本题的关键所在，注意等号成立的条件，判断等号能否同时成立．