Question

14．如图，矩形ABDE所在平面与正三角形ABC所在平面互相垂直，AE=3，AB=2$\sqrt{3}$，点O是边AB的中点．
（1）在线段BD上是否存在点F，使得AF⊥平面EOC，证明你的结论；
（2）求二面角B-EC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段BD上存在点F，使得AF⊥平面EOC．
（2）分别求出平面BEC的法向量和平面ECO的法向量，利用向量法能求出二面角B-EC-O的余弦值．

解答 解：（1）在线段BD上不存在点F，使得AF⊥平面EOC．
证明如下：
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得A（0，-$\sqrt{3}$，0），O（0，0，0），C（3，0，0），
E（0，-$\sqrt{3}$，3），设F（0，$\sqrt{3}$，t），0≤t≤3，
$\overrightarrow{OE}$=（0，-$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{OC}$=（3，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，2$\sqrt{3}$，t），
设平面ECO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-\sqrt{3}y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=3x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overline{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
当AF⊥平面EOC时，$\overrightarrow{n}∥\overrightarrow{AF}$，∴t=2，不满足0≤t≤3，
∴在线段BD上存在点F，使得AF⊥平面EOC．
（2）B（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}=（0，-2\sqrt{3}，3）$，$\overrightarrow{BC}$=（3，-$\sqrt{3}$，0），
设平面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2\sqrt{3}b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3a-\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
由（1）得平面ECO的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设二面角B-EC-O的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{0+3+2}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$|=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴二面角B-EC-O的余弦值为$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．