Question

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），代入x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根据当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；
（2）假设存在实数b使得不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b的值．

解答：解：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
因为x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），
所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
∴f′(x)=

4

x+4

+4a=4a•

x+4+ 1 a

x+4

，∵a＜-

1

2

，∴-4＜-

1

a

-4＜-2，
∴当x∈(-4，  -

1

a

-4)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈(-

1

a

-4，-2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a(-

1

a

)=-4，∴a=-1
∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x
（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

恒成立，
即为

x-b

lnx

＞

x

恒成立，
①当x∈（0，1）时，

x-b

lnx

＞

x

?b＞x-

x

lnx，令g(x)=x-

x

lnx，x∈(0，1)
则g′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

令h(x)=2

x

-lnx-2，则当x∈（0，1）时，h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＜0
∴h（x）＞h（1）=0，∴g′(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴g（x）＜g（1）=1，故此时只需b≥1即可；
②当x∈（1，2）时，

x-b

lnx

＞

x

?b＜x-

x

lnx，令φ(x)=x-

x

lnx，x∈(1，2)
则φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

令h(x)=2

x

-lnx-2，则当x∈（1，2）时，h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＞0
∴h（x）＞h（1）=0，∴φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴φ（x）＜φ（1）=1，故此时只需b≤1即可，
综上所述：b=1，因此满足题中b的取值集合为：{1}

点评：此题是个难题．考查函数解析式的求法以及函数恒成立问题，体现了转化和分类讨论的思想方法，其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．