Question

（2006•朝阳区一模）已知矩形ABCD中，AB=

2

，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．
（1）求证：DA⊥平面ABC；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）求二面角G-FC-E的大小．

Answer 1

分析：（1）根据DA⊥AB，平面ACD经过平面BCD的垂线，根据面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面BCD，从而得到BC⊥平面ACD
，则BC⊥DA，AB∩BC=B，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）设求点C到平面ABD的距离为d，由（1）结论可知DA⊥平面ABC，则DA是三棱锥D-ABC的高，根据V_C-ABD=V_D-ABC建立等式关系，解之即可求出所求；
（3）先证平面ABD⊥平面FGC，在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H，作HK⊥FC，垂足为K，连接EK，故EK⊥FC，从而∠EKH为二面角E-FC-G的平面角，在Rt△FEC中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：依条件可知DA⊥AB①
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线
∴平面ACD⊥平面BCD
又依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD
∵DA?平面ACD∴BC⊥DA②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC …4分
（2）解：设求点C到平面ABD的距离为d，于是V_C-ABD=V_D-ABC
由（1）结论可知DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高
∴由V_C-ABD=V_D-ABC，得

1

3

dS△ABD=

1

3

DAS△ABC，解得d=

2

2

即点C到平面ABD的距离为

2

2

…8分
（3）解：由（I）结论可知DA⊥平面ABC，∵AC、CG?平面ABC
∴DA⊥AC①DA⊥CG②
由①得△ADC为直角三角形，易求出AC=1
于是△ABC中AC=BC=1
∵G是等腰△ABC底边AB的中点，∴CG⊥AB③∵AB∩DA=A④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD
∵CG?平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC
在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H∴EH⊥平面FGC
作HK⊥FC，垂足为K，连接EK，故EK⊥FC
∴∠EKH为二面角E-FC-G的平面角 …10分
设Rt△ABD边BD上的高为h，容易求出h=

6

3

，∴EH=

6

6

在△EFC中，容易求出FE=

2

2

，EC=

3

2

，FC=

5

2

三边长满足FC²=FE²+EC²，∴∠FEC=90°
于是在Rt△FEC中容易求出EK=

30

10

，∴sin∠EKH=

EH

EK

=

5

3

…12分
于是二面角E-FC-G的大小为arcsin

5

3

…13分

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，点面距离的定理和二面角平面角的度量，同时考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．