Question

市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=

16 8-x -1，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（I）a=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

，利用水中洗衣液的浓度不低于4（克/升），利用分段函数的意义分类讨论即可解出；
（II）当6≤x≤10时，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为a=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

．（1分）
则当0≤x≤4时，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．（3分）
当4＜x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8．（5分）
综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．（6分）
（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4（10分）
当且仅当14-x=4

a

时等号取到．（因为1≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）
所以y有最小值8

a

-a-4．（12分）
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，
所以a的最小值为24-16

2

≈1.4．（14分）

点评：本题考查了分段函数的意义及基本不等式的运用、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．