Question

已知正数列{a_n}中的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer 1

解：（1）由已知，2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）①
得：a₁=2，a₂=3，a₃=4，…（2分）
又2S_n+1=a_n+1²+a_n+1-2②
由②-①得； （a_n+1-a_n-1）（a_n+1+a_n）=0，（a_n＞0）
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1． …（4分）
（2）由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2ⁿ它的前n项和为T_n，
T_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ ①
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹ ②
①-②：-T_n=2•2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=
=-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹…（8分）…（6分）
（3）∵a_n=n+1，∴c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
要使c_n+1＞c_n恒成立，
∴c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． …（9分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，
∴λ＜1．…（11分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立
当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．…（13分）
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，
都有c_n+1＞c_n．…（14分）
分析：（1）由2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*），得：a₁=2，a₂=3，a₃=4，又2S_n+1=a_n+1²+a_n+1-2，故a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=（n+1）•2ⁿ，其前n项和T_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，由错位相减法能求出T_n．
（3）由a_n=n+1，知c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，要使c_n+1＞c_n恒成立，则c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，故（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． 由此能得到存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是计算繁琐，容易失误．解题时要认真审题，仔细解答．