Question

（理）已知正数列{a_n}中，对任意的正整数n，都（n+1）a_n²-a_na_n+1²=na_n+1²成立，且a₁=2，则极限

lim

n→∞

an

3n+1

=

 

．

Answer 1

分析：根据na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，得到

an+1

an

=

n+1

n

，利用累乘法即可求得该数列的通项公式，根据极限的求法即可求得结果．

解答：解：∵na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1
即[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+a_n+1）=0
∴（n+1）a_n-na_n+1=0 或a_n+a_n+1=0
又∵数列{a_n}各项均为正数
∴

an+1

an

=

n+1

n

，
∴

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

…

an

an-1

=

n

n-1

∴

an

a1

=

n

1

，∴a_n=2n，
∴极限

lim

n→∞

an

3n+1

=

lim

n→∞

2n

3n+1

=

2

3

点评：本题考查根据递推关系求数列通项公式的方法，对于此种类型的题目首先化简递推式，推导出相邻两项的关系是解题的关键，考查运算能力，属中档题．