Question

如图，圆x²+y²=4与y轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足

DM

=

1

2

DP

．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形．
（2）过点B的直线l与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若

BF

=2

BE

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用P是圆上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足

DM

=

1

2

DP

．可得动点坐标之间的关系，利用P在圆x²+y²=4上，即可求得动点M的轨迹C的方程，从而可得所求轨迹；
（2）由

BF

=2

BE

知E是BF中点，由此可得E，F的坐标表示，代入椭圆方程，可求得E，F的坐标，进而可得直线l的方程．

解答：解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），则题意DP⊥x轴且M是DP的中点，
所以

x0=x y0=2y

（2分）
又P在圆x²+y²=4上，所以x₀²+y₀²=4，即x²+（2y）²=4，即

x2

4

+y2=1（4分）
轨迹是以(

3

，0)与(-

3

，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．（6分）
注：只说轨迹是椭圆扣（1分）．
（2）设E（x₀，y₀），由

BF

=2

BE

知E是BF中点，又B（0，2），所以F（2x₀，2y₀-2），因E，F都在椭圆x²+4y²=4上，所以

x02+4y02=4 x02+4(y0-1)2=1

（9分）
解得：x0=±

15

4

，y0=

7

8

（11分）
若E(±

15

4

，

7

8

)，则k=

y0-2

x0

=±

3 15

10

（13分）
所以直线l方程为：y=±

3 15

10

x+2（14分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合，主要考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆相交，关键是将向量关系转化为坐标关系，从而得解．