Question

若关于x的方程4^x-2^x+2+4m=0有唯一解，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：方法一：令t=2^x，原方程化为t²-4t+4m=0，        ①

∵原方程有唯一解，

∴关于t的方程①有唯一大于0的解.

令f（t）=t²-4t+4m，考查f（t）的函数图象，如下图.

当

即或16-16m=0时，

关于t的方程①有唯一的大于0的解.

解得m≤0或m=1.

故m的取值范围是{m|m≤0或m=1}.

方法二：设t=2^x，原方程化为t²-4t+4m=0有唯一大于0的解，设为t₁＞0，另一解t₂≤0或t₂=t₁，则有

即1或16-16m=0，

解得m≤0或m=1，

故m的取值范围是{m|m≤0或m=1}.