Question

在一椭圆中以焦点F₁，F₂为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于

2

2

．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意得b=c，由此解出a=

2

c，即可算出此椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
可得焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2-b2

．
∵以F₁F₂为直径的圆恰好过短轴的两顶点，
∴短轴端点到原点的距离等于焦距的一半，即b=c，
可得

a2-c2

=c，化简得a=

2

c，
因此，该椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．