Question

5．如图，AB为半圆O的直径，AD⊥AB，过D作圆的另一切线DC交AB的延长线于E，C为切点，连接BC，OD．
（Ⅰ）求证：BC∥OD；
（Ⅱ）如果EB=2，OB=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，AC，证明：O，A，D，C四点共圆，且OD为直径，可得OD⊥AC，即可证明BC∥OD；
（Ⅱ）如果EB=2，OB=1，由切割线定理可得EC，利用BC∥OD，即可求AD的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接OC，AC，则
∵CD⊥OC，BC⊥AC，
∴O，A，D，C四点共圆，且OD为直径，
∴OD⊥AC，
∴BC∥OD；
（Ⅱ）解：∵EB=2，OB=1，
∴由切割线定理可得EC²=EB•EA=2×（2+2）=8
∵BC∥OD，
∴$\frac{EB}{BO}=\frac{EC}{CD}$=2，
∴AD=CD=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四点共圆，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．