Question

【题目】设函数，．

（1）当时，求函数的单调区间及所有零点；

（2）设，，为函数图象上的三个不同点，且

．问：是否存在实数，使得函数在点处的切线与直线平行？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间是，零点是；（2）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）定义域为，当时，求导得，由于没办法画图导函数图象，所以再次求导得，故一阶导数在单调递减，在单调递增，且，所以原函数在定义域上为增函数，且是唯一零点；（2）化简，，由此求得处切线的斜率，利用两点坐标，求出直线的斜率，两者相等，化简后按，讨论后可知符合题意.

试题解析：

解：（1）当时，，

则，

记，

则，即，

从而，在上单调递增，在上单调递减，则，即恒成立，

故在上单调递增，无单调递减区间，又，则0为唯一零点．

（2）由题意知，

则，

直线的斜率，则有：，

即，

即，

即，即，①

当时，①式恒成立，满足条件；

当时，①式得，②

记，不妨设，则，②式得．③

由（1）问可知，方程③在上无零点．

综上，满足条件的实数．