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    已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
    （1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
    （2）当f(x)∈[
    1
    2
    ，
    4
    5
    ]    时，求x的取值范围；
    （3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
    ①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
    1
    10
    恒成立，求最小的N；
    ②若an+1=f（an），求证：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
    3
    7
    ．
    分析：（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a，得a=-1，这与a＞0矛盾，故x≠-2a，所以f(x)=
    x+a-1
    x+2a
    =1-
    a+1
    x+2a
    (x≠-2a)    ，由此知y=f（x）的图象是中心对称图形，并能求出其对称中心．
    （2）由f(x)∈[
    1
    2
    ，
    4
    5
    ]    ，知
    x-2
    x+2a
    ≥0
    x-3a-5
    x+2a
    ≤0
    ，由a＞0，能求出x的取值范围．
    （3）①由f（0）=0得a=1，故f(x)=
    x
    x+2
    ．由0＜an+1≤
    an
    an+2
    ，得
    1
    an+1
    +1≥2(
    1
    an
    +1)    ．令bn=
    1
    an
    +1    ，则bn+1≥2bn，由此能求推导出满足题设要求的最小正整数．
    ②由an=
    1
    2n-1
    ，知anan+1=
    1
    (2n-1)•(2n+1-1)
    ，a1a2=
    1
    3
    ＜
    3
    7
    ，a1a2+a2a3=
    1
    3
    +
    1
    21
    =
    16
    42
    ＜
    3
    7
    ，故当n=1，2时，不等式成立．当n≥2时，由
    anan+1
    an-1an
    =
    2n-1-1
    2n+1-2
    =
    1
    2
    •
    2n-1-1
    2n-1
    ＜
    1
    2
    ，能够证明a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
    3
    7
    ．
    解答：解：（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．
    若x=-2a，则x+a-1=-a-1=0，得a=-1，这与a＞0矛盾，
    ∴x≠-2a，
    ∴f(x)=
    x+a-1
    x+2a
    =1-
    a+1
    x+2a
    (x≠-2a)    ，
    故y=f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心为点（-2a，1）．
    （2）∵f(x)∈[
    1
    2
    ，
    4
    5
    ]    ，
    ∴
    x+a-1
    x+2a
    ≥
    1
    2
    x+a-1
    x+2a
    ≤
    4
    5
    即
    x-2
    x+2a
    ≥0
    x-3a-5
    x+2a
    ≤0

    又∵a＞0，∴
    x＜-2a，或x≥2
    -2a＜x≤3a+5

    得x∈[2，3a+5]．
    （3）①由f（0）=0得a=1，
    ∴f(x)=
    x
    x+2
    ．
    由0＜an+1≤
    an
    an+2
    得
    1
    an+1
    ≥2×
    1
    an
    +1    ，
    即
    1
    an+1
    +1≥2(
    1
    an
    +1)    ．
    令bn=
    1
    an
    +1    ，则bn+1≥2bn，
    又∵an＞0，∴bn＞0，∴
    bn+1
    bn
    ≥2    ．
    ∵a1=1，∴b1=2，
    ∴当n≥2时，bn=b1×
    b2
    b1
    ×
    b3
    b2
    ×…×
    bn
    bn-1
    ≥
    2×2×2×…×2
    n个
    =2n    ．
    又∵b1=2也符合bn≥2n，
    ∴bn≥2n（n∈N*），即
    1
    an
    +1≥2n    ，
    得an≤
    1
    2n-1
    (n∈N*)    ．
    要使an＜
    1
    10
    恒成立，
    只需
    1
    2n-1
    ＜
    1
    10
    ，即2n＞11，
    ∴n＞3．故满足题设要求的最小正整数N=3．
    ②由①知an=
    1
    2n-1
    ，
    ∴anan+1=
    1
    (2n-1)•(2n+1-1)
    ，
    a1a2=
    1
    3
    ＜
    3
    7
    ，
    a1a2+a2a3=
    1
    3
    +
    1
    21
    =
    16
    42
    ＜
    3
    7
    ，
    ∴当n=1，2时，不等式成立．
    当n≥2时，
    ∵
    anan+1
    an-1an
    =
    2n-1-1
    2n+1-1
    ＜
    1
    2
    ，
    ∴anan+1＜
    1
    2
    •an-1an＜(
    1
    2
    )2•an-2an-1    ＜…＜(
    1
    2
    )n-2•a2a3=
    1
    21
    •(
    1
    2
    )n-2    ，
    ∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1≤
    1
    3
    +
    1
    21
    (
    1
    20
    +
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-2
    )
    =
    1
    3
    +
    2
    21
    (1-
    1
    2n-1
    )＜
    1
    3
    +
    2
    21
    =
    18
    42
    =
    3
    7
    ．
    点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查数列的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对计算能力的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    ②当f（x）∈[
    1
    2
    ，
    4
    5
    ]    时，求x的取值范围；
    ③若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
    1
    10
    恒成立，求最小的N．

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    （1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
    （2）当时，求x的取值范围；
    （3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
    ①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，恒成立，求最小的N；
    ②若an+1=f（an），求证：．

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