Question

已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）∈[

1

2

，

4

5

]时，求x的取值范围；
③若f（0）=0，数列{a_n}满足a₁=1，那么若0＜a_n+1≤f（a_n）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{a_n}，an＜

1

10

恒成立，求最小的N．

Answer 1

分析：①化简函数y=f（x）的表达式，通过反比例函数判断函数的图象是对称图形，直接指出其对称中心；
②通过f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，转化分式不等式与不等式组的形式，然后求x的取值范围；
③利用f（0）=0，推出a=1，求出函数的表达式，通过0＜a_n+1≤f（a_n）构造bn=

1

an

+1，推出an≤

1

2n-1

，结合an＜

1

10

恒成立，可求n的最小值，即可求最小的N．

解答：解：①∵xf（x）+2af（x）=x+a-1
∴（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a时，则a=-1，与a＞0矛盾
∴x≠-2a，∴f（x）=

x+a-1

x+2a

=1-

a+1

x+2a

（x≠-2a）
∴f（x）是中心对称图形，对称中心为（-2a，1）
②∵f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

⇒

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

⇒

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又a＞0，所以

x＜-2a或x≥2 -2a＜x≤3a+5

⇒2≤x≤3a+5
③∵f（0）=0，∴a=1，∴f（x）=

x

x+2

由0＜a_n+1≤f（a_n）⇒

1

an+1

≥2×

1

an

+1，即

1

an+1

+1≥2(

1

an

+1)，令bn=

1

an

+1
∴b_n+1≤b_n，又a_n＞0，∴

bn+1

bb

≥2，又a₁=1，∴b₁=2
当n≥2，bn=b1×

b2

b1

×

b3

b2

×…×

bn

bn-1

≥2×2×2×…×2=2n
（或bn≥2bn-1≥22bn-2≥23bn-3≥…≥2n-1b1=2n）
又∵b₁=1也符合，bn≥2n，∴bn≥2n（n∈N^*）
即

1

an

+1≥2n⇒an≤

1

2n-1

，（n∈N^*）
要使a_n＜

1

10

恒成立，只需

1

2n-1

＜

1

10

即2ⁿ＞11．
∴n＞3．
所以N=3

点评：本题考查函数的性质的应用，函数的值域的应用，不等式组的解法，数列与函数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．