Question

11．已知函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行．
（1）试求函数f（x）和g（x）的单调增区间；
（2）设1＜b＜3，求证：lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行，求出a，即可求函数f（x）和g（x）的单调增区间；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，即可证明：lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

解答 （1）解：∵f（x）=x²-a1nx，∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，∴f′（1）=2-a．
∵g（x）=x-a$\sqrt{x}$，∴g′（x）=1-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，∴g′（1）=1-$\frac{a}{2}$，
∵函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行．
∴2-a=1-$\frac{a}{2}$，
∴a=2，
∴f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
g′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＞0，单调增区间为（1，+∞）；
（2）证明：设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）在（1，3）上单调递增，
∴h（1）＜h（b）＜h（3），
∴b²+b-2lnb-2$\sqrt{b}$＞0，
∴2lnb+2$\sqrt{b}$＜b²+b＜4b，
∴lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．