Question

14．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当$x∈[\frac{π}{12}，π]$时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）运用倍角公式，辅助角公式化简函数式，再求函数的单调区间；
（2）先求出g（x）的解析式，再结合正弦函数图象求其值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+cos²x+2sinxcosx+cos2x-2
=$sin2x+cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，
当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$时，
解得，$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，
纵坐标不变，得到函数$g（x）=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）-1$，
当$x∈[\frac{π}{12}，π]$时，$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{4}]$，
①当$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{4}$时，g（x）取得最大值，g（x）_max=$\sqrt{2}$-1；
②当$x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即x=π时，g（x）取得最小值，g（x）_min=-2，
故函数g（x）的值域为$[-2，\sqrt{2}-1]$．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质，涉及三角函数恒等变形，单调性和最值，以及函数图象变换，属于中档题．