Question

6．已知函数f（x）=x²e^x对区间（a，a+1）内存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-3，-1）∪（0，2）
• B． （-3，-2）∪（-1，0）
• C． （-2，-1）∪（0，3）
• D． （-3，-2）∪（0，1）

Answer 1

分析 通过求导函数，函数的极值点，利用函数f（x）=x²e^x在区间（a，a+1）上存在极值点，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x²e^x的导数为y′=2xe^x+x²e^x =xe^x（x+2），
令y′=0，则x=0或-2，
-2＜x＜0上单调递减，（-∞，-2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或-2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x²e^x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜-2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴-3＜a＜-2或-1＜a＜0．
实数a的取值范围是：（-3，-2）∪（-1，0）．
故选：B．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．