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如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求证:PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)求异面直线AB和PC所成角的大小.
(Ⅰ)证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,
且BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.
∵PA?平面PAB,∴PA⊥BC.
又∵PA⊥PB,∴PA⊥平面PBC.
(Ⅱ)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM.
∵平面PAB⊥平面ABC,∴PO⊥平面ABC,
根据三垂线定理得PM⊥AC,∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角.
PA=PB=
6
,∵PA⊥PB,∴AB=2
3
,PO=BO=AO=
3

∵OM⊥AM,∠MAO=30°,∴OM=AO•sin30°=
AO
2
,∴tanPMO=
PO
OM
=
AO
OM
=2

即二面角P-AC-B的大小是arctan2.

(Ⅲ)在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线,交于点D,
连接OC,OD,PD.
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角.
∵AB⊥BC,∠BAC=30°,
∴BC=AB•tan30°=2,OC=
OB2+BC2
=
7

PC=
PO2+CO2
=
10

易知底面ABCD为矩形,从而OC=OD,PC=PD.
在△PCD中,cosPCD=
1
2
CD
PC
=
30
10

∴异面直线AB和PC所成角的大小为arccos
30
10

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