Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，$\sqrt{3}$），离心率为$\frac{1}{2}$，且F₁、F₂分别为椭圆的左右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（-4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点，N为BD中点，请说明存在实数k，使得以F₁F₂为直径的圆经过N点（不要求求出实数k）．

Answer 1

分析 （I）由题意可得b=$\sqrt{3}$，运用离心率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得a=2，即可得到椭圆C的方程；
（II）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点N（x₀，y₀），求得直线l的方程为：y=k（x+4），且k≠0．代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用中点坐标公式可得N的坐标，假设存在实数k，使得F₁F₂为直径的圆过N点，即F₁N⊥F₂N，运用直线的斜率之积为-1，化简整理可得k的方程，判断方程的解的情况，即可得到结论．

解答 解：（I）由椭圆经过点$（0，\sqrt{3}）$，离心率为$\frac{1}{2}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，a²-b²=c²，
解得$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$．
可得椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）证明：设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点N（x₀，y₀），
由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），且k≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
由△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0．
即有${x_1}+{x_2}=-\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
可得${x_o}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_0}=k（{x_o}+4）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
假设存在实数k，使得F₁F₂为直径的圆过N点，即F₁N⊥F₂N，
则${k_{{F_1}N}}．{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$，
由${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，
k${\;}_{{F}_{2}N}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{12k}{-20{k}^{2}-3}$，
则$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$•$\frac{12k}{-20{k}^{2}-3}$=-1，化为80k⁴+40k²-3=0，
设t=k²，则80t²+40t-3=0，
由于关于t的方程存在一正一负解，且80×$\frac{1}{16}$+40×$\frac{1}{4}$-3=12＞0，
满足${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0，则这样实数k存在．
即存在实数k，使得以F₁F₂为直径的圆过N点．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．