Question

9．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （I）|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，要使|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N^*，解得m．
（II）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=2，可得α+β=2．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （I）解：∵|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，
∴要使|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得-2＜m＜2．
∵m∈N^*，∴m=1．
（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=2，
∴α+β=2．
∴$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{1}{2}（α+β）$$（\frac{4}{α}+\frac{1}{β}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4β}{α}+\frac{α}{β}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当α=2β=$\frac{4}{3}$时取等号．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．