Question

（2012•包头一模）选修4-5；不等式选讲．
设不等式|2x-1|＜1的解集是M，a，b∈M．
（I）试比较ab+1与a+b的大小；
（II）设max表示数集A的最大数．h=max{

2

a

，

a2+b2

ab

，

2

b

}，求证：h≥2．

Answer 1

分析：（I）解绝对值不等式求出M=（ 0，1），可得 0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0可得ab+1与a+b的大小．
（II）由题意可得 h≥

2

a

，h≥

a2+b2

ab

，h≥

2

b

，可得 h³≥

2

a

•

a2+b2

ab

•

2

b

=

(  a2+b 2)

ab

≥8，从而证得 h≥2．

解答：解：（I）由不等式|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，解得 0＜x＜1，从而求得 M=（ 0，1）．
由 a，b∈M，可得 0＜a＜1，0＜b＜1．
∴（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
∴（ab+1）＞（a+b）．
（II）设max表示数集A的最大数，∵h=max{

2

a

，

a2+b2

ab

，

2

b

}，
∴h≥

2

a

，h≥

a2+b2

ab

，h≥

2

b

，
∴h³≥

2

a

•

a2+b2

ab

•

2

b

=

(  a2+b 2)

ab

≥8，故 h≥2．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．