Question

【题目】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2 ， 且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ， 则e1e2+1的取值范围为（ ）
A.（1，+∞）
B.（ ，+∞）
C.（ ，+∞）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n）， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1 ，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2 ，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，
则c＞ ，即有 ＜c＜5．
由离心率公式可得e1e2= = = ，
由于1＜ ＜4，则有 ＞ ．
则e1e2+1 ．
∴e1e2+1的取值范围为（ ，+∞）．
故选：B．
设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．