Question

（2010•江西模拟）已知实数x，y满足：e^x+y=x+1．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

．

Answer 1

分析：（1）先根据式子e^x+y=x+1把y用x表示，就可得到函数y=f（x）的解析式，求导数，因为导数大于0，得到的x的范围是函数的增区间，导数小于0，得到的x的范围是函数的减区间，所以只需判断在函数定义域中何时导数大于0，何时导数小于0，就可求出函数的单调区间．
（2）先把要解的不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

变形为In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2，不等号的左右两边分别是函数f（x）=ln（x+1）-x当自变量为

1+x

和2时的函数值，再根据f（x）的单调性就可解出不等式．

解答：解：（1）∵实数x，y满足：e^x+y=x+1，变形，得x+y=ln（x+1），
∴y=ln（x+1）-x，
又∵y=f（x）∴f（x）=ln（x+1）-x，（x＞-1）
则f′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

当-1＜x＜0时，f'（x）＞0； 
 当x＞0时，f'（x）＜0
∴f（x）在（-1，0）上单调递增；在（0，+∞）上单调递减．
（2）ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

变形为In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴不等式In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2等价于f（

1+x

）＞f（2）
由（1）知f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上单调递减
∴f（

1+x

）＞f（2）等价于

1+x

＜2
解得-1＜x＜2
∴不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

解集为 {x|-1＜x＜2}

点评：本题（1）考察了导数与函数的单调性的关系，导数大于0，函数为增函数，导数小于0，函数为减函数．
（2）考查了利用函数的单调性解不等式，关键是把不等式的左右两边都化为含函数符号的式子．