Question

过抛物线y²=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是

y²=2x-2

．

Answer 1

分析：先由抛物线的方程得到其焦点坐标，利用直线方程的点斜式设线段PQ所在的直线方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线方程，利用根与系数的关系求出线段PQ中点坐标，最后消去参数 k，即得线段PQ中点的轨迹方程．

解答：解：由抛物线y²=4x的p=2得抛物线焦点为（1，0）
设PQ的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程y²=4x得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴中点横坐标：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

中点纵坐标：y=k（x-1）=

2

k

．即中点为（

k2+2

k2

，

2

k

）
消参数k，得：y²=2x-2
故答案为：y²=2x-2．

点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．