Question

14．如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点E．
（Ⅰ）求证：△CDE为等腰三角形；
（Ⅱ）若AD=2，$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接线段DB，利用垂直关系证明∠CDE=∠AEC，即可得出△CDE为等腰三角形；
（Ⅱ）利用相似三角形求出圆O的直径，即可求出圆的面积．

解答 解：（Ⅰ）连接线段DB，…（1分）
因为DC为⊙O的切线，
所以∠DAB=∠BDC，…（3分）
又因为AB为⊙O的直径，BD⊥AE，
所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，…（4分）
所以∠CDE=∠AEC，
从而△CDE为等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD=CE，
因为DC为⊙O的切线，
所以CD²=CB•CA，…（7分）
所以CE²=CB•CA，即$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$．…（8分）
又Rt△ABD∽Rt△AEC，故$\frac{CE}{CA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$．…（9分）
因为AD=2，所以BD=1，AB=$\sqrt{5}$，S=π•${（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$=$\frac{5π}{4}$，
所以⊙O的面积为$\frac{5π}{4}$．…（10分）

点评 本题考查了圆的性质与应用问题，考查了推理与证明的应用问题，是综合性题目．