Question

5．已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-4，-\frac{3}{2}）$
• B． $（-4，-\frac{7}{2}）$
• C． $（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$
• D． $（-4，-\frac{7}{2}）∪（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，结合图象，得（-∞，-1），（0，1）是增区间，（-1，0），（1，+∞）是减区间，当x=±1时，f（x）取最大值是2，；当x=0时，f（x）取最小值是0，y=$\frac{3}{2}$是部分图象的渐近线．设t=f（x），由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}}\right.$
∴f（x）的图象如图所示，
结合图象，得（-∞，-1），（0，1）是增区间，（-1，0），（1，+∞）是减区间，
当x=±1时，f（x）取最大值是2，；
当x=0时，f（x）取最小值是0，
$y=\frac{3}{2}$是部分图象的渐近线．
设t=f（x），依题意，符合题意有两种情况：
①t₁=2，${t_2}∈（\frac{3}{2}，2）$，此时$-a={t_1}+{t_2}∈（\frac{7}{2}，4）$，则$a∈（-4，-\frac{7}{2}）$；
②${t_1}∈（0，\frac{3}{2}]$，${t_2}∈（\frac{3}{2}，2）$，此时$-a={t_1}+{t_2}∈（\frac{3}{2}，\frac{7}{2}）$，则$a∈（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$；
综上，实数a的取值范围是$a∈（-4，-\frac{7}{2}）∪（-\frac{7}{2}，-\frac{3}{2}）$．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的图象、性质的合理运用．