Question

15．求实数m的取值范围，使关于x的方程x²+2（m-1）x+2m+6=0
（1）有两个正实数根；
（2）有两个实数根，且一个比2大，一个比2小．

Answer 1

分析 （1）由题意可得△≥0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，解不等式组即可得答案；
（2）设f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，则由题意可得f（2）＜0，求解即可得答案．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}-4（2m+6）≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-2（m-1）＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2m+6＞0}\end{array}\right.$，
解得：-3＜m＜-1；
（2）设f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，则由题意可得f（2）=6m+6＜0，
解得：m＜-1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．