Question

5．已知θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]，则函数y=tan²θ+2tanθ+3的最小值为2，其相应的θ值为$-\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 设x=tanθ，由θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]和正切函数的单调性求出x的范围，代入原函数后利用配方法化简，由二次函数的性质求出函数的最小值，由特殊角的正切值求出θ的值．

解答 解：设x=tanθ，由θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]得x∈$[-\sqrt{3}，1]$，
则原函数变为：f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∴当x=-1时，f（x）取到最小值2，
此时θ=$-\frac{π}{4}$，函数y=tan²θ+2tanθ+3，取到最小值是2，
故答案为：2；$-\frac{π}{4}$．

点评 本题考查正切函数的单调性、函数值，二次函数的性质，以及换元法的应用，属于中档题．