Question

13．甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙胜的概率为$\frac{1}{3}$，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．
（1）求甲获得比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：
①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．
∴甲获得比赛胜利的概率：
p=$（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）$+C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²×$（\frac{2}{3}）$=$\frac{64}{81}$．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，
P（X=3）=$（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$×$（\frac{1}{3}）$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²×$（\frac{2}{3}）$+C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）²×$（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{27}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

数学期望EX=$3×\frac{1}{3}+4×\frac{10}{27}+5×\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．