Question

20．如图，一个直角走廊的宽分别为a米、b米，一铁棒欲通过该直角走廊，设铁棒与廊壁成θ角．求：
（1）棒长L（用含θ的表达式表示）；
（2）当a=b=2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．（参考公式：sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），sin2θ=2sinθcosθ）．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中的边角关系，求得L的解析式．
（2）利用三角恒等变换化简L的解析式，再利用二次函数的性质，即能够通过这个直角走廊的铁棒的长度L的最大值．

解答 解：（1）由题意可得棒长L=$\frac{a}{cosθ}$+$\frac{b}{sinθ}$．
（2）当a=b=2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度L=$\frac{a}{cosθ}$+$\frac{b}{sinθ}$=$\frac{2}{cosθ}$+$\frac{2}{sinθ}$=$\frac{2（sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$
=2$\sqrt{\frac{{（sinθ+cosθ）}^{2}}{{sin}^{2}{θ•cos}^{2}θ}}$=4$\sqrt{\frac{1+sin2θ}{{sin}^{2}2θ}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{sin}^{2}2θ}+\frac{1}{sin2θ}}$．
令t=$\frac{1}{sin2θ}$，∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），2θ∈（0，π），∴t≥1．
L=4$\sqrt{{t}^{2}+t}$=$\sqrt{{（t+\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{4}}$ 在[1，+∞）上单调递增，∴t≥4$\sqrt{2}$（米）．
故当t=1，即θ=$\frac{π}{4}$时，L取得最小值，即能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为4$\sqrt{2}$米．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，二次函数的性质应用，三角恒等变换，属于中档题．