Question

9．已知函数f（x）=4sinxcosx（x∈R），将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，b-a的最小值为（　　）

• A． 10π
• B． $\frac{29π}{3}$
• C． $\frac{28π}{3}$
• D． $\frac{55π}{6}$

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求出x的值，可得b-a的最小值．

解答 解：函数f（x）=4sinxcosx=2sin2x （x∈R），
将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，
得到函数y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的图象，故g（x）的周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少有20个零点，
即 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$在[a，b]上至少有20个解．
∴有 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{5π}{6}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，解得 x=kπ-$\frac{7π}{12}$，或x=kπ-$\frac{π}{4}$，
令k从0取到9，可得x的最小值为a=-$\frac{7π}{12}$，x的最大值b=$\frac{35π}{4}$，
在所有满足上述条件的[a，b]中，b-a的最小值为$\frac{35π}{4}$+$\frac{7π}{12}$=$\frac{28π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．