Question

11．已知${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展开式的常数项是540，则由曲线y=x²和y=x^a围成的封闭图形的面积为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积．

解答 解：因为${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展开式的常数项是540，所以${C}_{6}^{3}\frac{1}{{a}^{3}}$=540，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以由曲线y=x²和y=x^a围成的封闭图形的面积为S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{\frac{1}{3}}-{x}^{2}）dx$=$（\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{5}{12}$；
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了二项式定理以及利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确求出a，利用定积分求表示面积．