Question

12．已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+2}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n，由此利用递推思想能求出a₃，a₄的值．
（2）由$\frac{{lg（{1+{a_{n+1}}}）}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=\frac{{lg（{1+a_n^2+2{a_n}}）}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=\frac{{lg{{（{1+{a_n}}）}^2}}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=2$，能数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）推导出$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}，{b_n}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
∴${a_{n+1}}=a_n^2+2{a_n}，{a_2}=a_1^2+2{a_1}=8，{a_3}=a_2^2+2{a_2}=80，{a_4}=a_3^2+2{a_3}=6560$．
证明：（2）∵$\frac{{lg（{1+{a_{n+1}}}）}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=\frac{{lg（{1+a_n^2+2{a_n}}）}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=\frac{{lg{{（{1+{a_n}}）}^2}}}{{lg（{1+{a_n}}）}}=2$，
∴{lg（1+a_n）}是首项为lg3，公比为2的等比数列，
∴$lg（{1+{a_n}}）=（{lg3}）×{2^{n-1}}=lg{3^{{2^{n-1}}}}，1+{a_n}={3^{{2^{n-1}}}}，{a_n}={3^{{2^{n-1}}}}-1$．
解：（3）${a_{n+1}}=a_n^2+2{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{a_n^2+2{a_n}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_n}+2}}}），\frac{1}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}，{b_n}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$，
∴${S_n}=\frac{2}{a_1}-\frac{2}{a_2}+\frac{2}{a_2}-\frac{2}{a_3}+\frac{2}{a_3}-\frac{2}{a_4}+…+\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_1}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=1-\frac{2}{{{3^{2^n}}-1}}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．