Question

2．已知正四棱锥O-ABCD的体积为2，底面边长为$\sqrt{3}$，则该正四棱锥的外接球的半径为$\frac{11}{8}$．

Answer 1

分析 先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据三角形相似解出球的半径．

解答 解：如图，连接AC，BD交于G，连接OG，则OG⊥底面ABCD，

∵正四棱锥O-ABCD的底面边长为$\sqrt{3}$，体积为2，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}•OG=2$，解得h=2，
取OC中点H，在平面OGC中，过H作HK⊥OC交OG于K，则K为正四棱锥O-ABCD的外接球的球心，
∵Rt△OGC∽Rt△OHK，
∴$\frac{OH}{OK}=\frac{OG}{OC}$，则OK=$\frac{OH•OC}{OG}$，
又在Rt△OGC中，由$GC=\frac{\sqrt{6}}{2}$，OG=2，得OC=$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∴OH=$\frac{\sqrt{22}}{4}$，
则OK=$\frac{\frac{\sqrt{22}}{4}×\frac{\sqrt{22}}{2}}{2}$=$\frac{11}{8}$．
即正四棱锥的外接球的半径为$\frac{11}{8}$．
故答案为：$\frac{11}{8}$．

点评 本题主要考查外接球半径R，考查计算能力和空间想象能力，找出球的半径是解决本题的关键，是中档题．