Question

11．给出下列命题：
①存在实数α，使sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3}{2}$
②函数y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）是偶函数．
③函数y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期为$\frac{π}{2}$．
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
⑤函数y=sin²x-3cosx+2的最大值为6
其中正确命题的是②③．
（把你认为正确命题的序号填在答题纸的相应位置上）

Answer 1

分析 ①由sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，判断①错；
②由函数y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x是偶函数，判断②正确；
③求出函数y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期为$\frac{π}{2}$，判断③正确；
④举例说明该命题错误；
⑤求出函数y的最大值，判断⑤错误．

解答 解：对于①，sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴存在实数α，使sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3}{2}$是假命题，故①错误；
对于②，函数y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x，是定义域R上的偶函数，故②正确；
对于③，函数y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期为T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，故③正确；
对于④，当α=$\frac{9π}{4}$、β=$\frac{π}{4}$时，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα=sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误；
对于⑤，函数y═sin²x-3cosx+2=-cos²x-3cosx+3=-${（cosx+\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{21}{4}$，
当cosx=-1时，y取得最大值为5，故⑤错误．
其中正确命题的是②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目．