Question

6．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C；
（3）求点D到平面D₁AC的距离．

Answer 1

分析 （1）要证直线EE₁∥平面FCC₁，只要证面CC₁F∥面ADD₁A₁，根据面面平行的判定定理，结合平行四边形的性质证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，只要证明AC⊥面BCC₁B₁，再由线面垂直的判定定理只要证明AC垂直于BC、CC₁；
（3）利用等积法即${V_{D-{D_1}AC}}={V_{{D_1}-ADC}}$，求出点D到平面D₁AC的距离．

解答 （1）证明：∵$CD∥AB，CD=\frac{1}{2}AB，AF=\frac{1}{2}AB$，
∴CD∥AF，CD=AF
∴四边形AFCD为平行四边形
∴CF∥AD
又∵AD?面ADD₁A₁，CF?面ADD₁A₁
∴CF∥面ADD₁A₁…（2分）
在直四棱柱中，CC₁∥DD₁，
又∵AD?面ADD₁A₁，CF?面ADD₁A₁
∴CC₁∥面ADD₁A₁…（3分）
又∵CC₁∩CF=C，CC₁，CF?面CC₁F
∴面CC₁F∥面ADD₁A₁
又EE₁?面ADD₁A₁，
∴EE₁∥面CC₁F…（5分）
（2）证明：∵$BC=CD=\frac{1}{2}AB=2$
∴平行四边形AFCD是菱形
∴DF⊥AC，易知BC∥DF
∴AC⊥BC…（7分）
在直四棱柱中，CC₁⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥CC₁
又BC∩CC₁=C
∴AC⊥面BCC₁B₁…（9分）
又AC?面D₁AC
∴面D₁AC⊥面BCC₁B₁…（10分）
（3）解：易知${V_{D-{D_1}AC}}={V_{{D_1}-ADC}}$…（11分）
∴设D到面D₁AC的距离为d，则
$\frac{1}{3}{S}_{△{D}_{1}AC}•d=\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•D{D}_{1}$，又${S}_{△{D}_{1}AC}=\sqrt{15}$，${S}_{△ADC}=\sqrt{3}$，DD₁=2，…（13分）
∴d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即D到面D₁AC的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（15分）

点评 本题考查了线面平行、面面垂直的判定以及利用定积分求点到面的距离；体现了转化的思想．