Question

12．已知函数f（x）=ln（ax+1）+a，g（x）=sin$\frac{πx}{2}$+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）），且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明：
（ⅰ）$\frac{x}{1+x}$＜f（x）-1＜x（x＞0）；
（ⅱ）当n为正整数时，-1＜$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-lnn≤$\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程，由斜率相等和截距相等，可得a=b=1；
（2）（ⅰ）令$h（x）=\frac{x}{1+x}-ln（{x+1}）$，求得导数，判断单调性，可得$\frac{x}{1+x}$＜f（x）-1；令φ（x）=ln（x+1）-x，求得导数，判断单调性可得f（x）-1＜x；
（ⅱ）由（ⅰ），取x=$\frac{1}{n}$得：$\frac{1}{1+n}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，令x_n=$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-lnn，判断单调性，可得$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-lnn≤$\frac{1}{2}}$；再由放缩法，可得-1＜$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-lnn．

解答 解：（1）由f（x）的导数$f'（x）=\frac{a}{ax+1}$，
g（x）的导数$g'（x）=\frac{π}{2}cos\frac{πx}{2}+b$，
则f（0）=a，f'（0）=a，g（1）=1+b，g'（1）=b，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a，
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线为y=b（x-1）+1+b，即y=bx+1，
依题意，得a=b=1；               
证明：（2）（ⅰ）f（x）-1=ln（x+1），
令$h（x）=\frac{x}{1+x}-ln（{x+1}）$，
所以$h'（x）=\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}-\frac{1}{x+1}=\frac{-x}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，
所以h（x）＜h（0）=0；                                           
令φ（x）=ln（x+1）-x，则$φ'（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}＜0$，
所以φ（x）单调递减，故φ（x）＜φ（0）=0，
所以$\frac{x}{1+x}＜ln（{x+1}）＜x（{x＞0}）$成立；
（ⅱ）由（ⅰ），取x=$\frac{1}{n}$得：$\frac{1}{1+n}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
令x_n=$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-lnn，
则x₁=$\frac{1}{2}$，当n≥2时，x_n-x_n-1=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-ln（1+$\frac{1}{n-1}$）＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{（{n}^{2}+1）n}$＜0．
因此x_n＜x_n-1＜…＜x₁=$\frac{1}{2}$．
又lnn=$\sum_{k=2}^{n}$[lnk-ln（k-1）]+ln1=$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$），
故x_n=$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}$-$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$）=$\sum_{k=1}^{n-1}$[$\frac{k}{{k}^{2}+1}$-ln（1+$\frac{1}{k}$）]+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$ 
$＞\sum_{k=1}^{n-1}{（{\frac{k}{{{k^2}+1}}-\frac{1}{k}}）}=-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{{（{{k^2}+1}）k}}}≥-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{{（{k+1}）k}}}=-1+\frac{1}{n}＞-1$，
所以当n为正整数时，$-1＜\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}}-lnn≤\frac{1}{2}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性，以及运用放缩法，考查化简整理的运算能力，属于难题．