Question

10．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2；数列{b_n}满足6n²-（t+3b_n）n+2b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
②在①结论下，若对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入b_k个2，符到一个数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项和公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出t，②讨论m的取值，根据T_m=2c_m+1的关系进行求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=4-2=2，
a₂=S₂=-S₁=2²⁺¹-2-2=8-4=4，
则公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ，…4分
（2）①当n=1时，得b₁=6-t，n=2时，得b₂=6-$\frac{1}{2}$t；n=3时，b₃=$\frac{54-3t}{7}$，
则由b₁+b₃=2b₂，得t=4．而当t=4时，由6n²-（t+3b_n）n+2b_n=0 得b_n=2n．
由b_n+1-b_n=2，得 数列{b_n}为等差数列，满足条件．
②由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，
则当m=1时，T₁=2≠2c₂，不合题意，舍去；
当m=2时，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，满足题意，则m=2成立；
当m≥3 时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1，不合题意，舍去；从而c_m+1 必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，
则T_m=a₁+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{{b}_{1}}$+a₂+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{{b}_{2}个}$+a₃+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{{b}_{3}个}$+a₄+…+a_k+$\underset{\underbrace{2+…+2}}{{b}_{k}个}$
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+…+b_k）=2（2^k-1）+2×$\frac{（2+2k）k}{2}$=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2a_k+1=2×2^k+1，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，
即2^k-k²-k+1=0，所以 2^k+1=k²+k=k（k+1）
因为2^k+1为奇数，而k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1，综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…16分

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．