Question

10．已知球O与正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD及四个侧面都相切，对角线BD₁与球面的两个交点分别为M，N，M为线段BD的中点，MN=$\sqrt{6}$．则球O的体积为$\frac{9}{2}$π．

Answer 1

分析 求出cos∠BD₁D=$\frac{4R}{2\sqrt{6}R}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，取MN的中点E，则ME=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用cos∠OME=cos∠BD₁D=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{R}$，求出R，即可求出球O的体积．

解答 解：由题意，M为线段BD的中点，∴DD₁=4R，
∵BD=2$\sqrt{2}$R，∴BD₁=$\sqrt{16{R}^{2}+8{R}^{2}}$=2$\sqrt{6}$R，
∴cos∠BD₁D=$\frac{4R}{2\sqrt{6}R}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
取MN的中点E，则ME=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠OME=cos∠BD₁D=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{R}$，
∴R=$\frac{3}{2}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π•（\frac{3}{2}）^{3}$=$\frac{9}{2}$π．
故答案为：$\frac{9}{2}$π．

点评 本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．