Question

10．设（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+${a_3}{x^3}$+…+${a_n}{x^n}$，若|a₀|，|a₁|，|a₂|成等差数列．
（1）求（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ展开式的中间项；
（2）求（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ展开式中所有含x奇次幂的系数和；
（3）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，等差数列的定义，求得n的值，可得展开式的中间项．
（2）在所给的等式中，分别令x=1，x=-1，再把它们相加，可得展开式中含x的奇次幂的系数和．
（3）在所给的等式中，两边分别对x求导数，再令x=1，可得a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．

解答 解：（1）依题意得  ${T_{r+1}}=C_n^r{（-\frac{1}{2}）^r}{x^r}$，r=0，1，…，n．
则a₀=1，${a_1}=-\frac{n}{2}$，${a_2}={C_n}^2{（-\frac{1}{2}）^2}=\frac{n（n-1）}{8}$，
由2|a₁|=|a₀|+|a₂|得n²-9n+8=0可得n=1（舍去），或n=8．
所以${（1-\frac{1}{2}x）^8}$展开式的中间项是${T_5}=C_8^4{（-\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$．
（2）${（1-\frac{1}{2}x）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_n}{x^n}$，即${（1-\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$，
令x=1得${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，令x=-1得${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
两式相减得$2（{{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}}）=\frac{{1-{3^8}}}{2^8}$，即${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{1-{3^8}}}{2^9}=-\frac{205}{16}$，
所以展开式中含x的奇次幂的系数和为$-\frac{205}{16}$．
（3）∵${（1-\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$，
两边求导得：$-4{（1-\frac{1}{2}x）^7}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+8{a_8}{x^7}$，
令x=1得 ${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+8{a_8}=-4{（{\frac{1}{2}}）^7}=-\frac{1}{32}$．

点评 本题主要考查等差数列的定义，求函数的导数，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．