Question

20．设sinα≠0，求证：cosα•cos2α•cos2²α…cos2ⁿα=$\frac{sin{2}^{n+1}α}{{2}^{n+1}sinα}$．

Answer 1

分析 将左边分母看作1，然后分子分母同乘以2ⁿ⁺¹sinα，将分子逆用正弦的倍角公式化简可得右边．

解答 证明：设sinα≠0，cosα•cos2α•cos2²α…cos2ⁿα
=2sinα$\frac{cosα•cos2α•cos{2}^{2}α…cos{2}^{n}α}{2sinα}$
=$\frac{sin2α•cos2α•cos{2}^{2}α…cos{2}^{n}α}{2sinα}$
=$\frac{sin4α•cos{2}^{2}α…cos{2}^{n}α}{{2}^{2}sinα}$
=…
=$\frac{{2}^{\;}sin{2}^{n}αcos{2}^{n}α}{{2}^{n+1}sinα}$
=$\frac{sin{2}^{n+1}α}{{2}^{n+1}sinα}$．

点评 本题考查了三角函数的正弦的倍角公式的逆用；关键是凑出满足公式的形式．