Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，∠BAD=120°，AP=AB=AD=2BC．
（1）在平面PAB内，过点B作直线l，使得l∥平面PCD（保留作图痕迹），并加以证明；
（2）求直线PB和平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点E，PD的中点F，连接EF，BE，CF，则可证四边形BCFE是平行四边形，于是BE∥CF，从而BE∥平面PCD，故BE就是要作的直线l．
（2）利用余弦定理解出AC，即可得出AC⊥BC，即AC⊥AD．以A为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线PB和平面PCD所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PB}$＞|．

解答 解：（1）取PA的中点E，PD的中点F，连接BE，EF，CF．则BE即为所要作的直线l．
证明：∵E，F分别是PA，PD的中点，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}AD$．
又∵BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}AD$，
∴EF∥BC，EF=BC．
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BE∥CF，又BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．
（2）连接AC，设BC=1，则AB=AD=AP=2，
∵∠BAD=120°，BC∥AD，
∴∠ABC=60°，∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos∠ABC}$=$\sqrt{3}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∥AD，∴AC⊥AD．
又PA⊥平面ABCD，∴AC，AD，AP两两垂直．
以A为原点，以AC，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系A-xyz，如图所示：
∴P（0，0，2），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-2），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{10}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{20}$．
∴直线PB和平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{20}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．