Question

19．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．
（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；
（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，
则P（A）=1-$\frac{1×2+3×2}{4×4}$=$\frac{1}{2}$．
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，
甲每次所取的两球颜色相同的概率为$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
乙每次所取的两球颜色相同的概率为$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{3}$，
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{12}{36}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+${C}_{2}^{1}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{6}{36}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{4}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{1}{36}$

EX=$0×\frac{4}{36}+1×\frac{12}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{6}{36}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．