Question

7．若数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（n∈N^•），则a₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{4}{7}$
• C． $\frac{5}{7}$
• D． $\frac{6}{7}$

Answer 1

分析 由数列递推式依次求出数列的前几项，归纳出数列{a_n}是周期为3的周期数列，利用周期性求出a₂₀₁₆．

解答 解：∵a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（n∈N^•），
∴a₂=2a₁=$\frac{6}{7}$，a₃=2a₂-1=$\frac{5}{7}$，a₄=2a₃-1=$\frac{3}{7}$，…，
∴数列{a_n}是周期为3的周期数列，
则a₂₀₁₆=a_3×672=a₃=$\frac{5}{7}$，
故选：C．

点评 本题考查了数列递推式，归纳推理，以及数列的周期性的应用，是基础题．