Question

12．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+$\frac{q}{a_n}$（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=$\frac{1}{2}$，q=2，且a₃=$\frac{41}{20}$，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，求证：当p∈（${\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}}）$）时，数列{a_n}是单调递减数列．

Answer 1

分析 （1）令n=2、1依次代入递推公式列出方程，求出a₂、a₁的值；
（2）根据条件分两种情况：当p=0，q≠0时由数列的递推公式对n分奇数和偶数求出S_n；当p≠0，q=0时由数列的递推公式可知是等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出S_n；
（3）由题意求出数列的递推公式，由p的范围先比较a₁与a₂，令n取n-1列出式子后，两式相减化简后利用基本不等式求出a_n的范围，根据p的范围判断出“a_n+1-a_n”的符号，即可证明结论．

解答 解：（1）由题意知，a_n+1=p•a_n+$\frac{q}{a_n}$，∴a₃=p•a₂+$\frac{q}{{a}_{2}}$，
∵p=$\frac{1}{2}$，q=2，且a₃=$\frac{41}{20}$，∴$\frac{41}{20}=\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{4}{{a}_{2}}）$，解得${a}_{2}=\frac{5}{2}或{a}_{2}=\frac{8}{5}$，…2分
当${a_2}=\frac{5}{2}$时，同理求得a₁=1或4；当${a_2}=\frac{8}{5}$时，无解，
所以，a₁=1或4       …4分
（2）若p=0，q≠0，${a_{n+1}}=\frac{q}{a_n}$，∴${a_1}=5，{a_2}=\frac{q}{5}，{a_3}=5，{a_4}=\frac{q}{5}$，…5分
所以当n为奇数时，${S_n}=5•\frac{n-1}{2}+\frac{q}{5}•\frac{n+1}{2}=\frac{25n+qn+q-25}{10}$；…6分
当n为偶数时，${S_n}=5•\frac{n}{2}+\frac{q}{5}•\frac{n}{2}=\frac{25n+qn}{10}$，
所以${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{25n+qn+q-25}{10}，n为奇数}\\{\frac{25n+qn}{10}，n为偶数}\end{array}\right.$…7分
若p≠0，q=0时，a_n+1=p•a_n，…8分
所以${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{5（{p^n}-1）}}{p-1}}&{p≠0，p≠1}\\{5n}&{p=1}\end{array}}\right.$…10分
证明：（3）由题意知，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{{a_{n+1}}=p•{a_n}+\frac{1}{a_n}}\end{array}}\right.$
当$p＜\frac{3}{4}$时，可得${a_2}=2p+\frac{1}{2}＜2={a_1}$       ①…12分
由${a_{n+1}}=p•{a_n}+\frac{1}{a_n}$和${a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}，（n≥2）$，
两式相减得，${a_{n+1}}-{a_n}=（{a_n}-{a_{n-1}}）（p-\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}）$    …14分
因为${a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥2\sqrt{p}$成立，则有a_n•a_n-1＞4p
当$p＞\frac{1}{2}$时，${a_n}•{a_{n-1}}＞4p＞\frac{1}{p}$，即$p＞\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}$   ②…16分
由①②可知，当a_n＜a_n-1时，恒有a_n+1＜a_n…17分
对于任意的自然数n，a_n+1＜a_n恒成立．  …18分．

点评 本题考查了数列递推关系，等比数列的定义、前n项和公式，作差法判断数列的单调性，以及基本不等式式的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与化简、变形能力，属于难题．