Question

2．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证：
（1）△CMN为等腰三角形；
（2）PB•CM=PC•BN．

Answer 1

分析 （1）根据题意，证明∠CNM=∠CMN，即可证明△CMN是等腰三角形；
（2）利用对应角相等证明△PNB∽△PMC，即可证明PB•CM=PC•BN．

解答 解：（1）∵PC是圆O的切线，切点为C，
∴∠PCB=∠PAC；
又∵∠CPM=∠APM，
∴∠CNM=∠CPM+∠PCB=∠APM+∠PAM=∠CMN，
∴△CMN是等腰三角形；
（2）∵∠CMN=∠CNM，∠CNM=∠BNP，
∴∠CMN=∠BNP，
又∵∠CNP=∠BPN，
∴△PNB∽△PMC，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BN}{CM}$，
即PB•CM=PC•BN．

点评 本题考查了推理与证明的应用问题，也考查了圆与三角形的应用问题，是基础题目．