Question

12．如图，圆O的直径AB=4，P是AB延长线上一点，BP=1，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠ACD=∠F；
（2）若PE=1，求EF的值．

Answer 1

分析 （1）作出辅助线，D、B、P、F四点共圆，根据外角和内角的关系，证出即可；（2）根据切割线定理求出EF的长即可．

解答 解：（1）如图示：

连接BD，则∠ACD=∠ABD，BD⊥AD，
∵FP⊥AP，∴D、B、P、F四点共圆，
∴∠ABD=∠F，
∴∠ACD=∠F；
（2）由（1）得：D、C、E、F四点共圆，
∴PE•PF=PC•PD，
又PB•PA=PC•PD，
∴PE•PF=PB•PA=1×5=5，
∴1×（1+EF）=5，
∴EF=4．

点评 本题考查四点共圆是证明，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．