Question

20．在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，E，F分别是CC₁，BC的中点，AE⊥A₁B₁，D为棱A₁B₁上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法进行证明垂直问题
（2）求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系进行求解判断即可．

解答 解：（1）证明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，
∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁∩AE=A
∴AB⊥⊥面A₁ACC₁．
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则有A（0，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），…（4分）
设D（x，y，z），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，且λ∈[0，1]，即（x，y，z-2）=λ（2，0，0），则D（2λ，0，2），
则$\overrightarrow{DF}$=（1-2λ，1，-2），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
∴$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=2-2=0，所以DF⊥AE；…（6分）
（2）存在一点D且D为A₁B₁的中点，使平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$        …（7分）                               
理由如下：由题可知面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
设面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+z=0}\\{（1-2λ）x+y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=3，则y=1+2λ，z=2（1-λ），则$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ））   …（10分）
∵平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
即$\frac{|2（1-λ）|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$\frac{7}{4}$（舍），所以当D为ABA₁B₁中点时满足要求．  …（12分）

点评 本题主要考查直线垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．