Question

10．在极坐标系中，点A（2，$\frac{π}{2}$）到直线ρcos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$的距离为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出A（0，2），直线为x-y-2=0，由此利用点到直线的距离公式能求出点A（2，$\frac{π}{2}$）到直线ρcos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$的距离．

解答 解：在极坐标系中，点A（2，$\frac{π}{2}$），
∴在平面直角坐标系中，A（2cos$\frac{π}{2}$，2sin$\frac{π}{2}$），即A（0，2），
∵ρcos（$θ+\frac{π}{4}$）=ρ（cos$θcos\frac{π}{4}$-sin$θsin\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$sinθ=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{ρ}{2}cosθ-\frac{ρ}{2}sinθ$=1，
∴ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴直线为x-y-2=0，
点A（0，2）到直线x-y-2=0的距离：d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴点A（2，$\frac{π}{2}$）到直线ρcos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$的距离为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的相互转化．