Question

17．已知函数f（x）=（x²+ax-2a-3）•e^3-x（a∈R）；
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据导数乘法的运算法则求出函数的导函数，然后讨论f'（x）=0时两根大小，然后分别解不等式f'（x）＜0与f'（x）＞0，从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在区间[0，4]上的单调性，从而求出函数f（x）在区间[0，4]上的值域，根据g（x）在[0，4]上单调递增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，解不等式即可．

解答 ．解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
由-a-1=3得a=-4，
当a=-4时，f′（x）=-（x-3）²e^3-x≤0，此时函数在（-∞，+∞）上为减函数，
当a＜-4时，-a-1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）单调减区间为（-∞，3），（-a-1，+∞），单调增区间为（3，-a-1）．
当a＞-4时，-a-1＜3，
f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）单调减区间为（-∞，-a-1），（3，+∞），单调增区间为（-a-1，3）．
（2）由（1）知，当a＞0时，-a-1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，
在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6．
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e³，a+6]
又g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a²+$\frac{25}{4}$，（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴]，
∵a＞0，∴-（2a+3）e³＜a+6≤a²+$\frac{25}{4}$＜（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴，
|f（x₁）-g（x₂）|＜1等价为g（x₂）-f（x₁）＜1
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，
∴a²+$\frac{25}{4}$-a-6＜1，得4a²-4a-3＜0，得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$
∵a＞0，
∴0＜a＜$\frac{3}{2}$
∴a的取值范围为（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．